Стереометрия

Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (пространственных фигур). Слово «стереометрия» состоит из греческих слов «стереос» — телесный, пространственный и «метрео» — измеряю.

Не нужно путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (т.е. свойства плоских фигур), а в стереометрии – свойства фигур в пространстве (т.е. свойства пространственных фигур).

Для лучшего понимания напомним некоторые сведения о многогранниках и дадим каждому многограннику наглядное описание.

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 1–10). Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми (рис. 1) и невыпуклыми (рис. 2). Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань . (Мы будем изучать только выпуклые многогранники.)

Приведем примеры отдельных многогранников.

Куб представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и все они — равные квадраты. У куба 12 равных ребер и 8 вершин (рис. 3).

Параллелепипед представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них — параллелограмм. Параллелепипед может быть прямым (рис. 4) или наклонным (рис. 5).

Параллелепипед, все грани которого прямоугольники, называют прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед изображается также, как и прямой. Из сказанного следует, что куб — это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

n-угольная пирамида представляет собой многогранник, одна грань которого, называемая основанием пирамиды, — некоторый выпуклый n-угольник, а остальные n граней — треугольники с общей вершиной (рис. 6). Эта общая вершина называется вершиной пирамиды, а треугольники — боковыми гранями пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами ее основания, называются боковыми ребрами пирамиды. Пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник, а боковые ребра равны между собой, называется правильной пирамидой (рис. 7). Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется треугольной пирамидой или тетраэдром. Таким образом, тетраэдр — это четырехгранник. Все его четыре грани — треугольники. Тетраэдр, все четыре грани которого — равные правильные треугольники, называется правильным тетраэдром (рис. 8). Правильный тетраэдр —  это частный случай правильной треугольной пирамиды .

n-угольная призма представляет собой многогранник, две грани которого, называемые основаниями призмы, — равные n-угольники, а все остальные n граней — параллелограммы. Они называются боковыми гранями призмы. Призма может быть прямой (рис. 9) или наклонной (рис. 10). У прямой призмы все боковые грани — прямоугольники, у наклонной призмы хотя бы одна грань — параллелограмм, не являющийся прямоугольником.

Параллелепипед — это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Сферой называется множество всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние (рис. 11). Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее центром, называется радиусом сферы. Радиусом сферы называют также расстояние от любой точки сферы до ее центра. Для сферы, как и для окружности, определяются хорды и диаметр.

Шаром называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки — центра шара — не превосходит данного положительного числа, которое называется радиусом шара.