Алгебра (от арабского «аль-джабр», «воссоединение», «связь», «завершение»), раздел элементарной математики, в котором арифметические операции производятся над числами, значения которых заранее не заданы. Преимущества алгебраических методов обусловлены использованием достаточно компактных символических систем, что внешне выглядит как самая характерная их черта.
Термин «алгебра» применяется также для обозначения более абстрактных областей математики, в которых символы используются сходным образом, но не обязательно представляют числа. Для представления чисел можно использовать любые символы, но чаще берут буквы латинского алфавита.
Этот раздел элементарной математики изучает деление многочленов, решение уравнений, разложение многочленов на множители, операции с алгебраическими дробями, операции со степенями и корнями. Также алгебра изучает основы векторного исчисления, решение неравенств, арифметическую и геометрическую прогрессии, логарифмы, пропорции, факториалы и многое другое.
Главным предметом алгебры является изучение уравнений и ряда вопросов, которые развились из теории уравнений. Именно уравнения мы рассмотрим более подробно.
Уравнение – это буквенное равенство, которое справедливо (т.е. становится тождеством) только при некоторых значениях входящих в него букв. Эти буквы называются неизвестными, а их значения, при которых данное уравнение обращается в тождество – корнями уравнения. Процедура нахождения всех корней уравнения называется решением.
Решить уравнение – значит найти все его корни. Подстановка любого корня вместо неизвестного обращает уравнение в верное числовое равенство (тождество). Два или несколько уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни.
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным . Такая замена называется тождественным преобразованием. Основные тождественные преобразования следующие:
• Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение
( 3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10
можно заменить следующим равносильным:
9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .
• Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »:
9 x 2 + 12 x + 4 – 15 x – 10 = 0,
после чего получим:
9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.
• Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени . Необходимо помнить, что:
а) возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней ;
б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней .
|
