Арифметика — элементарный раздел математики, изучающий простейшие виды чисел (натуральные, целые, рациональные) и простейшие арифметические операции над ними (сложение, вычитание, умножение, деление).
С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была связана с техникой счета. Под «арифметикой» во многих странах обычно имеется ввиду именно эта последняя область, которая несомненно является старейшей отраслью математики.
На сегодняшний день главными арифметическими операциями есть сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Рассмотрим их немножко подробнее.
Сложение – это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми . Например, 16 + 8 = 24. Здесь 16 и 8 – слагаемые, 24 – сумма. Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится: 16 + 8 = 24 и 8 + 16 = 24.
Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа ( уменьшаемого ) другое ( вычитаемое ) - значит найти такое третье число ( разность ), которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое: 24 – 8 = 16. Здесь 24 – уменьшаемое, 8 – вычитаемое, 16 – разность.
Умножение. Умножить одно число n ( множимое ) на другое целое число m ( множитель ) - значит повторить множимое n в качестве слагаемого m раз. Результат умножения называется произведением . Запись операции умножения: n ? m или n • m . Например, 12 ? 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. Таким образом, 12 ? 4 = 48 или 12 • 4 = 48. Здесь 12 – множимое, 4 – множитель, 48 – произведение. Если множимое n и множитель m поменять местами, то произведение не изменится. Например, 12 · 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48 и соответственно, 4 · 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. Поэтому множимое и множитель часто называются сомножителями .
Деление является действием, обратным к умножению, так как это операция нахождения одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю: Разделить одно число ( делимое ) на другое ( делитель ) – значит найти такое третье число ( частное ), которое при умножении на делитель даёт делимое: 48 : 4 = 12. Здесь 48 – делимое, 4 – делитель, 12 – частное. Частное от деления одного целого числа на другое целое число может и не быть целым числом. Тогда это частное представляется в виде дроби . Если частное – целое число, то говорят, что эти числа делятся нацело . В противном случае мы выполняем деление с остатком . Пример: 23 не делится на 4, в этом случае мы можем записать: 23 = 5 · 4 + 3. Здесь 3 – остаток .
Возведение в степень. Возвести число ( основание степени ) в целую степень ( показатель степени ) – значит повторить его сомножителем столько раз, каков показатель степени. Результат называется степенью . Запись возведения в степень:
3 5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 .
Здесь 3 – основание степени, 5 – показатель степени, 243 – степень.
Вторая степень любого числа называется квадратом , третья – кубом . Первой степенью любого числа является само это число.
Извлечение корня является действием, обратным к возведению в степень, так как это операция нахождения основания степени по степени и её показателю. Извлечь корень n- ой степени ( n – показатель корня ) из числа a ( подкоренное число ) – значит найти третье число, n -ая степень которого равна а . Результат называется корнем . Например:
Здесь 243 – подкоренное число, 5 – показатель корня, 3 – корень.
Корень второй степени называется квадратным , корень третьей степени – кубическим . Показатель квадратного корня не записывается:
Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня являются попарно взаимно-обратными операциями в арифметике.
|
